Bestfilez.net - новости мира Hi-tech :: Статьи :: Наука
Что такое исчисление и какова его роль в реальном мире
Можете ли вы представить свою жизнь, в которой ничего не меняется? Такие моменты бывают крайне редко, поскольку все в этом мире подвержено изменениям. Количество пищи, которую мы съедаем каждый день, количество шагов, которые мы делаем, и даже время восхода солнца. Исчисления - это раздел математики, который позволяет нам изучать непрерывные изменения. Большинство людей воспринимают исчисление только как набор уравнений, требующих большого количества вычислений, но на самом деле это набор правил, которые мы применяем ежедневно в течение всей нашей жизни.
Использование исчислений можно увидеть в физике, медицине, инженерии и экономике. Она сыграла ключевую роль в развитии навигации в XVII и XVIII веках, а сегодня играет важную роль в космических путешествиях и в развитии различных других передовых технологий. К числу областей и дисциплин, в которых используется исчисление, относятся термодинамика, электричество, акустика, география, компьютерное зрение, экономика, робототехника, демография, проектирование судов и машиностроение.
Давайте подробнее рассмотрим историю развития исчисления. Сложные математические формулы на доске.NiseriN/iStock
Что такое исчисление и каковы его виды?
Калькуляция использует математические операции для изучения и анализа скорости изменения и поиска закономерностей между уравнениями. Это важная область математики. Однако прежде чем погрузиться глубоко в исчисление, необходимо понять значение трех терминов: функция, производная и интеграл.
Функция определяет связь между двумя переменными (такими как расстояние и время, температура и объем и т.д.) в уравнении. Функция 𝑓 состоит из входа или множества входов, выхода или множества выходов и правила для присвоения каждому входу только одного выхода.
Производная определяется как скорость изменения функции по отношению к переменной (т.е. выходное значение по отношению к входному). Интеграл это результат непрерывного суммирования бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых. При интегрировании функции берутся бесконечно малые приращения её аргументов и вычисляется бесконечая сумма приращений функции на этих участках.
Используя исчисление, ученые, астрономы, физики, математики и химики могут разрабатывать математические уравнения, которые позволяют им строить графики орбит планет и звезд, определять положение и путь протонов и электронов, знать, как лекарства взаимодействуют с клетками человека, и находить ответы на многие другие математические вопросы.
Существует два основных вида исчисления: дифференциальное и интегральное. Ниже приводится их обзор:
Что такое дифференциальное исчисление?
Раздел исчисления, целью которого является нахождение скорости изменения функции в зависимости от переменной, от которой она зависит, называется дифференциальным исчислением. Оно обычно используется для нахождения наклона линии (ее крутизны) в заданной точке кривой.
Если найти наклон прямой линии относительно просто, то на кривой наклон имеет разные значения в разных точках, поскольку линия изгибается. Один из способов нахождения уклона - математически разрезать кривую на очень маленькие кусочки так, чтобы каждый кусочек напоминал прямую линию. Тогда наклон этой прямой будет равен наклону кривой в данной точке - это называется касательной.
Для функций, действующих на вещественные числа, производная (d) - это наклон касательной линии в точке на графике. Производная часто записывается как dy/dx (разница в y, деленная на разницу в x).
Диапазон точек, или предел, выбирается по обе стороны от диапазона или точки, которую мы пытаемся найти. Затем вычисляется величина касательной к пределу. Наклон приближается к определенному значению, как касательные приближаются к фактическому наклону кривой. Определенное значение, к которому он приближается, и есть реальный наклон.
Этот процесс вычисления наклона с помощью пределов называется дифференцированием, или нахождением производной.
Что такое интегральное исчисление?
В то время как дифференциальное исчисление занимается в основном определением наклона кривой. В отличие от этого, интегральное исчисление занимается вычислением площади под графиком функции.
Например, если мы вычисляем расстояние, которое проезжает автомобиль, и знаем скорость автомобиля в разные моменты времени, мы можем построить график этой скорости, а расстояние, которое проезжает автомобиль, будет площадью под графиком.
Это делается путем деления графика на множество очень маленьких отрезков и " построения" прямоугольников под каждым отрезком. Площадь прямоугольника легко вычислить, поэтому можно рассчитать общую площадь всех прямоугольников. Если прямоугольники сделать достаточно тонкими, то значение общей площади будет приближаться к площади под графиком. Это значение площади называется интегралом функции. Source: LYagovy/iStock
Фундаментальная теорема исчисления
Эта теорема на самом деле состоит из двух частей и связывает дифференцирование функции с интегрированием функции. Теорема показывает, что дифференцирование и интегрирование являются обратными процессами.
Первая часть теоремы устанавливает процедуру вычисления определенного интеграла (интеграла, для которого заданы верхний и нижний пределы интегрирования).
Она гласит, что если сначала проинтегрировать f, а затем продифференцировать результат, то мы вернемся к исходной функции f. Неопределенный интеграл (F) функции (f) может быть получен из интегрирования функции f. Таким образом, она показывает, что неопределенные интегралы существуют для непрерывных функций.
Вторая часть фундаментальной теоремы - это способ вычисления определенного интеграла в терминах неопределенных интегралов. (Неопределенный интеграл, называемый также антипроизводной, - это интеграл без верхнего и нижнего пределов).
Для функции f, непрерывной на интервале, теорема позволяет нам создать новую функцию F(x), интегрируя f по этому интервалу. При этом F(x) является антипроизводной от f(x), а f(x) - производной от F(x). Далее, F(x) - это накопление площади под кривой f на данном интервале.
Вторая фундаментальная теорема исчисления устанавливает связь между функцией и ее антипроизводной. Она позволяет найти производную кривой и оценить ее при определенных значениях переменной в тех случаях, когда использование антипроизводной затруднительно.
Используя исчисление, ученые, астрономы, физики, математики и химики могут разрабатывать математические уравнения, которые позволяют им строить графики орбит планет и звезд, определять положение и путь протонов и электронов, знать, как лекарства взаимодействуют с клетками человека, и находить ответы на многие другие математические вопросы.
Существует два основных вида исчисления: дифференциальное и интегральное. Ниже приводится их обзор:
Что такое дифференциальное исчисление?
Раздел исчисления, целью которого является нахождение скорости изменения функции в зависимости от переменной, от которой она зависит, называется дифференциальным исчислением. Оно обычно используется для нахождения наклона линии (ее крутизны) в заданной точке кривой.
Если найти наклон прямой линии относительно просто, то на кривой наклон имеет разные значения в разных точках, поскольку линия изгибается. Один из способов нахождения угла наклона - математически разрезать кривую на очень маленькие кусочки, чтобы каждый из них напоминал прямую линию. Тогда наклон этой прямой будет равен наклону кривой в данной точке - это называется касательной.
Для функций, действующих на вещественные числа, производная (d) - это наклон касательной линии в точке на графике. Производная часто записывается как dy/dx (разница в y, деленная на разницу в x).
Кто изобрел калькуляцию?
Готфрид Вильгельм Лейбниц. Источник: Музей Герцога Антона Ульриха в Брауншвейге/Wikimedia Commons
Самые первые шаги к развитию исчисления сделали греческие математики. В конце пятого века астроном Евдокс Книдский предложил концепцию, названную методом исчерпывания. Он утверждал, что с помощью этого метода можно вычислить площадь любой фигуры, нарисовав внутри нее последовательность многоугольников, поскольку площадь, занимаемая всеми многоугольниками, будет близка к общей площади, ограниченной фигурой.
Позже греческий математик Архимед использовал метод исчерпывания для расчета окружности круга и использовал свои выводы для определения математической константы π (Пи). Интересно, что он не остановился на этом и использовал тот же метод для вычисления объема сферы, площади эллипса, площади вращения спирали, объема цилиндра и различных других геометрических величин.
Между третьим и пятым веками нашей эры китайские математики Лю Хуэй и Цзу Гэнчжи также придумали свою версию метода исчерпывания и использовали его для вычисления площади круга и объема сферы соответственно.
Некоторые исследования указывают на то, что древнеиндийские ученые знали о вычислениях задолго до того, как их начали практиковать современные математики. Например, исторические факты свидетельствуют о том, что в XV веке два индийских астронома и математика, Мадхава из Сангамаграмы и Нилкантха Сомаяджи, разработали теории, включающие различные элементы современного исчисления.
Считается, что другой индийский астроном, Бхаскара II, или Бхаскарачарья, упомянул концепции и принципы, сходные с дифференциальным и интегральным исчислением, в своей книге Siddhānta Shiromani, первоначально написанной в 1150 году нашей эры. Интересно, что в книге также подробно обсуждаются алгебра, тригонометрия и различные другие математические понятия.
В современную эпоху немецкий астроном Иоганн Кеплер положил начало дальнейшему развитию исчисления. В своей работе под названием Stereometrica Doliorum он предложил метод вычисления площади эллипса.
В последующие годы многие ученые и математики, такие как Исаак Барроу, Эванджелиста Торричелли, Рене Декарт, Пьер Фермат внесли заметный вклад в развитие исчисления. Однако окончательное раскрытие сути системы исчисления приписывается сэру Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу, которые независимо друг от друга разработали ее основы и глубоко объяснили лежащие в ее основе принципы.
Хотя они оба сыграли важную роль в развитии теории исчисления, их фундаментальные понятия рассматривались совершенно по-разному.
Ньютон рассматривал исчисление как научное описание порождения движения и величин, тогда как Лейбниц сосредоточился на касательных и понятии исчисления как объяснении изменения.
При этом каждый из них мыслил в категориях графиков, а не функций. Для Ньютона исчисление было геометрическим, в то время как Лейбниц перешел к анализу, а также разработал систему обозначений для исчисления.
Source: ChristianChan/iStock
Применение исчисления в различных областях
Исчисления во многом сделали нашу жизнь удобной и эффективной. Вот некоторые области применения, которые доказывают это:
- -Специалисты по изучению атмосферы могут более точно предсказывать погоду и климатические изменения, используя такие факторы, как скорость ветра, уровень влажности, температура, давление и т. д. Несмотря на то, что измерительные датчики служат важнейшими инструментами для прогнозирования погоды, основы предсказания лежат в дифференциальных уравнениях, которые учитывают малейшие изменения в вышеупомянутых переменных, связанных с погодой, и выдают значения, отражающие будущие погодные условия.
- Для строительства зданий требуется глубокое понимание веса, площади, высоты, плотности материала и различных других переменных. Инженеры-строители и архитекторы используют дифференциальное и интегральное исчисление для решения сложных математических задач, связанных со строительством зданий, мостов и различных других типов сооружений.
- Для правильной и бесперебойной работы роботов, которые большую часть времени должны находиться в движении, необходимо правильно рассчитать переменные, которые ассоциируются с их функциями, такие как скорость, расстояние, ускорение и т.д.. Такая координация обеспечивается с помощью компьютерных программ и встроенных механизмов, которые управляются на основе уравнений, основанных на расчетах.
- Биологи используют методы исчисления для точного прогнозирования скорости роста бактерий и иных организмов. Кроме того, они используются в диагностике пациентов для расчета сердечного выброса, кровяного давления, роста клеток и опухолей. Эпидемиологи используют исчисление для изучения распространения инфекционных заболеваний.
Другие области применения калькуляции включают ее применение специалистами в области биоинформатики для изучения влияния лекарств на клетки человека в течение определенного периода времени. Побочные эффекты лекарств также анализируются с помощью интегрального исчисления. Кроме того, исчисление помогает точно предсказывать численность населения, плотность населения, годовое количество осадков и множество других параметров.
Во время своего возникновения исчисление считалось не более чем обычной математической концепцией, объясняющей изменения во времени. Однако с годами эта идея развивалась и постепенно превратилась в важнейший инструмент для поиска ответов, связанных с любым количеством происходящих важных изменений и событий.
Опубликовано 13 Март 2022
